Soyut Cebir

[S.P.Q.R]

SOYUT CEBİR

Soyut cebir veya soyut matematik, matematiğin bir alanı olup, cebir, vektör uzayı, modüller, alanlar, halkalar gibi cebirsel yapılar üzerinde çalışır. Bazı yazarlar günümüzde, "soyut cebir" yerine "cebir" terimini kullanmaktadır.
Soyut cebir kavramı günümüzde tüm cebirsel yapılar üzerine yapılan çalışmayı ifade etmektedir, temel cebirden farkı, bilinmeyen, çözümsüz gerçek ve karmaşık sayılardan oluşan cebirsel ifadeler ve formüller için doğru kurallar gösterir.
Temel cebir, gerçek alan ve basit cebir olarak bilinen yapıların başlangıç kısmı olarak ele alınabilir.



Not:İngilizce soyut cebir’i varmış.

Cebirsel İfadeler
+ veya – işaretleri ile birbirinden ayrılan harflere ifade denir.

3p + 2t bir cebirsel ifadedir.
3p ve 2t bu ifadeninterimleridir.

Aynı harf ile gösterilenler aynı terimlerdir.
Toplama ve Çıkarma İçin Kurallar
İfadeler, aynı terimleri toplamak veya çıkarmak koşuluyla sadeleştirilebilirler.

İfadelerin nasıl sadeleştirildiğini inceleyin:
t + t + t = 3t
3t – t = 2t
4p + 3p = 7p
pq + pq = 2pq
q 2 +q 2 = 2q 2

Bu ifadelerde terimler aynı olduğu için sadeleştirme yapılabildi. (Not: kuvvetleri de aynı olmak zorunda).

Aşağıdaki ifadelerde terimler aynı olmadığı için basitleştirme yapılamaz :
3y + 2t = 3y + 2t
4y + 3 = 4y +3
y 2 + y 3= y 2 +y 3
5x – 3y = 5x – 3y
Bu durum aşağıdaki gibi daha zor ifadelere de uygulanabilir.

Örnek 1: 3t + 4p + 2t - 3p ifadesinin en sade halini bulunuz.

3t + 2t = 5t (Not: terimler önlerinde bulunan işaretler ile beraber alınır)
4p – 3p = p
O halde, 3t + 4p + 2t – 3p = 5t + p


Örnek 2: 5y + 6x – 3y – 8x ifadesinin en sade halini bulunuz.

5y – 3y = 2y
6x – 8x = –2x
o halde, 5y + 6x – 3y – 8x = 2y – 2x
Aşağıdaki ifadelerde terimler aynı olmadığı için sadeleştirme yapılamaz:
3y + 2t = 3y +2t
4y + 3 = 4y + 3
y+y= y + y
5x – 3y = 5x – 3y

Terimlerin Çarpımı
a. Aynı terimler
y × y x y = y 3


y x y x y x y = y 4


Yukarıdaki eşitliğin sağ üst köşede küçük olarak yazılmış sayıya “kuvvet” denir.Kuvvet bir harfin(ya da sayının) kaç kez kendisi ile çarpıldığını gösterir.

Örnek: p 5 = p x p x p x p x p
p 5 x p 2 = p x p x p x p x p x p x p = p 7

Not: Tabanları aynı olan terimler(burada p) çarpılırken kuvvetleri aşağıdaki gibi toplanır.
5 + 2 =7 olduğundan p 5 x p 2 =p 7

Aşağıdaki ifadelerin nasıl basitleştirildiğini (en sade halinin nasıl bulunduğunu) inceleyin:

3p 2 x 5p 3 = 15p 5

2y 3 x 4y 4 = 8y 7

b. Farlı terimler Aşağıdaki ifadelerin nasıl basitleştirilidiğini inceleyiniz:

p x q = pq
3p x 2q = 6pq (Önce katsayılarını sonra harfleri çarparız).
p 2 x q 3 = p 2 q 3
Cebirde çarpma işlemi için kurallar
Aynı terimlerde , kuvvetleri toplarız
Farklı terimlerde çarpma işaretini ortadan kaldırız


Terimleri Bölme
a. Aynı Terimler
Aşağıdaki şekilde sadeleştirin:
t 5 / t 2 =

t 5

(cebirdeki bölme işaretini kullanın)

t 2

=
t x t x t x t x t



t x t



=
t 3


O halde,
t 5 / t 2 =
t 3


Bu işlem, aşağıdaki gibi kuvvetleri çıkartarak da bulunabilir.
6p 7 / 3p 2 = 2p 5
Önce katsayılar bölünür, sonra harfler.


b. Faklı Terimler:
Örnek 1: Bu ifadeyi sadeleştirin.
p 5 / y 3 =
p 5


y 3

Bu durumda kuvvetleri çıkartamayız.
Örnek 2: Bu ifadeyi sadeleştirin 6q 3 / 2t 5 =
6q 3

2t 5



=
3q 3


t 5

Bu durumda katsayıları bölebiliriz.