Bİr Fonksİyonun Lİmİtİ

[Kerem388]

LİMİT
BİR FONKSİYONUN LİMİTİ
TANIM
A R ve f: A – {xo** R ‘ye bir fonksiyon F(x) olsun. x değişkeni xo R sayısına yaklaştığında f(x) fonksiyonu da t R’ye yaklaşıyorsa t gerçel sayısına x, xo’a yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti denir ve lim f(x) = t
x xo
şeklinde gösterilir.

SAĞDAN VE SOLDAN LİMİT:
SAĞDAN LİMİT:
y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sağ taraftan yaklaşırken f de bir t1 R değerine yaklaşıyorsa t1’e fonksiyonun sağdan limiti denir ve lim f(x) = t1 biçiminde
x x+o
gösterilir.

SOLDAN LİMİT:
y = f(x) fonksiyonunda x, xo R değerine sol taraftan yaklaşırken f de bir t2 R değerine yaklaşıyorsa t2 ye fonksiyonun soldan limiti denir ve lim f(x) = t2
x x-o

ÖRNEK:
x2 + 1, x 0 ise,
x + 1 , x < 0 ise,

fonksiyonun x = 0 noktasında limiti nedir?

ÇÖZÜM:
lim f(x) = lim (x2 + 2) = 02 + 1 = 1
x 0+ x 0+

lim f(x) = lim (x + 1) = 0 + 1 = 1
x 0- x 0-

O halde lim f(x) = 1 dir.
x 0


LİMİT TEOREMLERİ:

1) lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)
x x0 x x0 x x0

2) lim (f(x).g(x)) = lim f(x).lim g(x)
x x0 x x0 x x0

3) lim c = c (c R)
x x0

4) lim (c.f(x)) = c . lim f(x)
x x0 x x0

5) g(x) 0 ve lim g(x) 0 ise
x x0



6) n N+ olmak üzere


7) n tek doğal sayı ise,



8) n çift doğal sayı ve f(x) 0 ise



9)


ÖRNEK:
ifadesi neye eşittir?

ÇÖZÜM:





TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ

1)

2)

3)

4)

5)

6)

ÖRNEKLER:

1.

2.

3.


4.







BELİRSİZLİKLER VE LİMİTLERİ

A) BELİRSİZLİĞİNİN LİMİTİ:

ÖRNEK:

ifadesinin değeri nedir?


ÇÖZÜM:



B) BELİRSİZLİĞİN LİMİTİ:

ÖRNEK:

limitinin değeri nedir?

ÇÖZÜM:



Payın derecesi paydadan büyük olduğundan




ÇÖZÜMLÜ TEST

1. değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

Çözüm 1.:

dır. O halde,




Cevap: B


2. limitinin değeri nedir?

A) B) C) D) E)

Çözüm 2.:


Cevap: C



TÜREV VE UYGULAMALARI

TANIM: y = f(x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli, x0 (a,b) olsun.

limiti bir gerçel sayı ise,

bu limite y = f(x) fonksiyonunun x = x0 noktasındaki TÜREVi denir ve f’(x0) şeklinde gösterilir.



ÖRNEK:

f : R R, f(x) = -x2 + 2 fonksiyonunun x0 = 1 noktasındaki türevi nedir?

ÇÖZÜM:

f(1) = - 12 + 2 = 1
f’(1)



NOT:




ÖRNEK:

f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu verilir.

a) f’(2) = ? b) f’(1) = ?

ÇÖZÜM:

a) f (2) =|22 – 4| = 0 olduğu için fonksiyonun x = 2 noktasında türevi yoktur.

b)

TÜREV ALMA KURALLARI:

1) c R olmak üzere
f (x) = c f’(x) = 0
2) f (x) = x f’(x) = 1
3) f (x) = cx f’(x) = c
4) f (x) = c . xn f’(x) = c . n . xn-1
5) f (x) = c . un f’(x) = c . n . un-1 . u’x
6) f (x) = u v f’(x) = u’x v’x
7) f (x) = u . v f’(x) = u’x . v + v’x . u
8) f (x) = u . v . t f’(x) = u’x . v. t + v’x . u . t
+ t’x . u . v
9) f (x) =
10) f (x) =

ÖRNEKLER:
1. f (x) = 5 f’(x) = 0
2. f (x) = f’(x) = 0
3. f (x) = x5 f’(x) = 5x4
4. f (x) = x f’(x) = 1
5. f (x) = 2x f’(x) = 2
6. f (x) =

7. f (x) = x4 – x3 + 2x – 3 fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2

8. f (x) = (3x2 + 5)11 fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 11 (3x2 + 5)10 . (3x2 + 5)’
= 11(3x2 + 5)10 . 6x
= 66x (3x2 + 5)10

9. f (x) = fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:

olur.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ:
A)
1) f (x) = Sinx f’(x)=Cosx
2) f (x) = Cosx f’(x) = - Sinx
3) f (x) = tanx f’(x) = 1 + tan2x

4) f (x) = Cotx f’(x) = - (1 + Cot2x)


ÖRNEKLER:
1. f (x) = Secx f’(x) = ?
ÇÖZÜM:


2. f (x) = Cosec f’(x) =?
ÇÖZÜM:


B.
1) f (x) = Sin[u[x]] f’(x) = u’(x) . Cos[u(x)]
2) f (x) = Cos [u(x)] f’(x) = - u’(x) . Sin [u(x)]
3) f (x) = tan [u(x)] f’(x) = u’(x) [1 + tan2u(x)]

4. f (x) = Cot[u(x)] f’(x) = -u’(x) [1 + Cot2u(x)]

ÖRNEKLER:
1. f (x) = Sin3x f’(x) = 3Cos3x
2. f (x) = tan(x2 – 1) f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
f’(x) = (x2 –1)’ . [1 + tan2(x2 – 1)]
f’(x) = 2x [1 + tan2 (x2 – 1)]
3. f (x) = Sin (tan x) fonksiyonunun türevi nedir?
ÇÖZÜM:
f’(x) = Cos (tanx) . (tanx)

4. f (x) = 2Sin3 x + 3Cos2x f’(x) = ?
ÇÖZÜM:
f’(x) = 2.3.Sin2x . (Sin x)’ + 3.2 Cosx . (Cosx)’
f’(x) = 6Sin2x . Cosx + 6 Cosx . ( - Sin x)

İNTEGRAL
TANIM:
f: [a,b] R ve F:[a, b] R ye tanımlı iki fonksiyon olsun, [a,b] için, F’(x) = f(x) yazılabilirse F(x)’e f(x)’in ilkel fonksiyonu yada integrali denir.
F’(x) dx = F(x) veya
f(x) dx = F(x) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK:
f (x) = 2x2 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2
f (x) = 2x2 – 1 f’(x) = 4x 4xdx = 2x2 – 1
f (x) = 2x2 + 3 f’(x) = 4x 4xdx =2x2 + 3

BELİRSİZ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ:
A. f’(x) dx = f(x) + C
B. d[f (x)] = f (x) + C
C. f (x)dx = f (x) dx ( R)
D. [f (x) g(x)] dx= f(x) dx g (x)dx
E. [ f (x) dx] = f (x)
F. d[ f (x)dx] = f(x) dx

ÖRNEKLER:
1. 2x dx = x2 + C
2. d(3x2) = 3x2 + C
3. 5x4dx = 5 x4dx
4. (x3 + x)dx = x3 dx + x dx
5. [ 2x dx] = 2x
6. d (x3dx) = x3dx



ÖRNEKLER:
1.
2. 12dx = 12x + C
3.
4. (x3 + x2 – 2)2 (3x2 + 2x)dx = ?
ÇÖZÜM 4:
x3 + x2 – 2 = u (3x2 + 2x) dx = du


TRİGONOMETRİK İNTEGRAL:
A. Cos x dx = Sin x + C
B. Sin x dx = - Cosx + C
C. Sec2x dx = (1 + tan2x) dx

D. Cosec2x dx = (1 + Cot2x) dx =
=

ÖRNEKLER:
1. Cos2x . Sin x dx =
ÇÖZÜM:
Cosx = u -Sin x dx = du
Sin x dx = - du
u2 . (-du) = - u2 . du



2. Sin 3x dx = ?
ÇÖZÜM:

3. Cos (2x + 1) dx = ?
ÇÖZÜM:


LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL:
A.
B.
C. eu du = eu + C
D.

ÖRNEKLER:
1.
2. tan x dx = ?
ÇÖZÜM:

Cos x = u - Sin x dx = du
Sin x dx = - du

= - ln |u| + C = - ln |Cos x| + C
3. ex dx = ex + C